绝对值不等式的解法

曲谱自学网今天精心准备的是《绝对值不等式的解法》，下面是详解！

含有绝对值的不等式怎么解

解含绝对值的不等式只有两种模型，它的解法都是由以下两个得来：
（1）|X|>1那么X>1或者X<-1; |X|>3那么X>3或者X<-3;
即）|X|>a那么X>a或者X<-a;(两根之外型)
(2)）|X|<1那么-1<X<1；|X|<3那么-3<X<3
即)）|X|<a那么-a<X<a；(两根之内型)
遇到这类不等式只需用对型把绝对值去掉即可：
如：|1-3X|＞4 我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之外型，则：1-3X>4或者1-3X<-4，从而又解一次不等式得解集为：X>5/3或者X<-1
又如：|1-3X|<2我把绝对值中的所有式子看成整体，不等式是两根之内型
则：-2<1-3X<2从而又解一次不等式得解集为：-1/3<x<1

记忆：大于取两根之外,小于取两根之间

解绝对不等式的基本思路:去掉绝对值符号转化为一般不等式,转化方法有(1)零点分段法(2)绝对值定义法(3)平方法  

解含有绝对值的不等式
比如解不等式|X+2|-|X-3|<4
首先应分为4类讨论，分别为当X+2>0且X+3>0时，然后解开绝对值符号，可解出第一个结果5<4，不符合题意，舍去；然后当X+2>0且X+3<0时，解开绝对值可得X<5/2，保留这个结果；下面的过程一样......然后把没有被舍去的范围放在一起取交集，得到的就是答案了。

关于绝对值不等式的解法

已知lf(x)l<g(x)，老师说解法是-g(x)<f(x)<g(x)。我想问的是为什么能直接这么表示，比如l2x-1l<x，可以分类为-x<2x-1和2x-1<x，在2x-1<x这种情况下，不知道x的解，怎么保证解出的答案...

已知lf(x)l<g(x)，老师说解法是-g(x)<f(x)<g(x)。
我想问的是为什么能直接这么表示，比如l2x-1l<x，可以分类为-x<2x-1和2x-1<x，在2x-1<x这种情况下，不知道x的解，怎么保证解出的答案一定使x或者绝对值内的2x-1大于零？ 展开

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值的符号。

而去掉绝对值符号的基本方法有二：其一为平方，其二为讨论。

所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！

所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！

以下，具体说说绝对值不等式的解法。

首先说“平方法”。

不等式两边可不可以同时平方呢？一般来说，有点问题。比如5>3，平方后，5^2>3^2，但1>-2，平方后，1^2<(-2)^2。

***事实上，本质原因在于函数y=x^2在R上不单调。

但我们知道，y=x^2在R+上是单调递增的，因此不等式两边都是非负时，同时平方，不等号的方向不变，这是可以的。

这里说到的***单调性的问题，是高一数学的重点内容，现在不明白可以跳过，到时候可一定要用心听!

有初中数学的基础，也应该明白，对两个非负数来说，大的那个数，它的平方也相应会大一些;反过来，平方大一些的数，这个数本来也会大一些。

比如|2x-1|≥1，两边同时平方，可得(2x-1)^2≥1，

整理得4x^2-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1

========注意========

这里用到了“一元二次不等式的解法”，现在的初中肯定还是要学一元二次方程的解法的，学不学一元二次不等式的解法，我就不清楚了。如果没学，那“平方法”先放一放，跳到“讨论法”吧——见华丽的分割线！

========END========

一般地，|f(x)|≥a（a>0），那么f(x)^2)≥a^2，即f(x)^2)-a^2≥0

因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0，因此f(x))≤-a或f(x)≥a （*）

（PS.若a≤0，则|f(x)|≥a的解集为R。想一想，没问题吧：））

同理，由|f(x)|≤a（a>0），可得-a≤f(x)≤a。 （**）

熟练了以后，结论（*）、（**）都可以直接使用。

比如|2x-1|＜5，由结论（**）（当然，这里没有等号，将等号去掉就可以了）可得：

-5<2x-1<5，即-2<x<3

这样，第一个问题“1≤|2x-1|＜5”就基本解决了。将不等式|2x-1|≥1，以及不等式|2x-1|＜5的解集求交集即可。答案是解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}

再看第二个问题，|x-3|-|x+1|＜1

这时候有两个绝对值符号，移项后得到|x-2|<|x+1|+1

平方后（注意，为什么可以两边平方！），得到(x-2)^2<(x+1)^2+1+2|x+1|

整理，得2|x+1|>7-8x

你看，平方一次，绝对值符号少了一个，但还有一个，怎么办？当然再平方一次！但问题是，这次还能平方吗？

不可以了，因为7-8x的符号未必是正啊！那怎么办？讨论！

若7-8x<0，即x>7/8，则原不等式显然成立！（为什么？） ①

若7-8x≥0，即x≤7/8，则原不等式等价于4(x+1)^2>(7-8x)^2

整理得：4x^2-8x+3<0，即(2x-1)(2x-3)<0，因此1/2<x<3/2

再考虑到x≤7/8，因此1/2<x≤7/8 ②

综合 ①、②，原不等式的解集为{x|x>1/2}

问题解决了！

====================我是华丽的分割线====================

回到问题的一开始，对于|x-3|-|x+1|＜1这样的不等式，我们更多的时候，可以从一开始进行讨论。

|x-3|中的绝对值符号能否去掉？去掉以后，式子会发生怎样的变化？关键在于x>3还是x<3，

因此x与3的大小关系是一个关键。

同样的道理，考察|x+1|，可以知道x与-1的大小关系也是一个关键。

于是，在两个关键处，进行如下的讨论：

（1）若x<-1，则x+1<0，x-3<0，

此时，原不等式可化为-(x-3)+(x+1)<1，即4<1，荒谬，舍去！

（2）若-1≤x<3，则x+1≥0，x-3<0，

此时，原不等式可化为-(x-3)-(x+1)<1，即-2x+2<1，解得x>1/2

再考虑到-1≤x<3，因此1/2<x<3

（3）若x≥3，则x+1>0，x-3≥0，

此时，原不等式可化为(x-3)-(x+1)<1，即-4<1，显然成立！因此x≥3

综合（2）（3）的结果可知，原不等式的解集为{x|x>1/2}

那么对于第一个例子，1≤|2x-1|<5，怎么用“讨论法”，应该没问题了吧！

（1）若2x-1≥0，即x≥1/2，则原不等式可化为1≤|2x-1|<5，……

（2）若2x-1<0，即x<1/2，则原不等式可化为1≤1-2x<5，……

以下略。

顺便说一下，x=1/2时，2x-1=0，因此数学上，把x=1/2叫做式“2x-1”的零点。我们以上

使用的“讨论法”，更具体的名称是“零点分段讨论法”。

但就其蕴含的数学思想来说，就是“分类讨论”，这可是高中数学的基本思想方法，一定要掌握！

以上，从绝对值的代数意义出发，即“数”的角度，给出了解绝对值不等式的两种常规思路，希望能给你有所启发。

考虑到绝对值还有着极为有趣的几何意义，因此从“形”的角度出发，也可以得到一些有意思的解法。

这事实上就涉及到高中数学中另一种极为重要的思想方法，即“数形结合”。

篇幅的关系，就不赘述了。（其实，我也累了……）

比如这道初中竞赛题：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有兴趣可以试一试！

再说明一下，http://zhidao.baidu.com/question/175584325.html?fr=uc_push这个帖子我也看到了，准备回答的时候（写了一些，但没有你现在看到的这个那么长篇大论），已经封贴了。还想着白写了呢，正好你又发问，也算是有缘吧……

含两个绝对值不等式的解法

|X-2|-|X+3|>a恒成立则实数a的范围,详细的解法和思路.谢了！...

|X-2|-|X+3|>a恒成立则实数a的范围,详细的解法和思路.谢了！

解这类不等式当然要先去绝对值符号，依据是零点分区法，即令绝对值符号里边的式子等于0，解出x的值，然后分成几个区域。如本例的零点是2和－3，分成3个区域：x小于等于－3，－3＜x＜2，x大于等于2。(1)当x小于等于－3时，原不等式即－(x－2)＋(x＋3)＝5＞a，要使不等式恒成立，只需a＜5即可。(2)当－3＜x＜2时，原不等式即－(x－2)－(x＋3)＝－2x－1＞a，要使不等式恒成立，只需a＜(－2x－1)min＝－2＊2－1＝－5即可。(3)当x大于等于2时，原不等式即x－2－(x＋3)＝－5＞a，

含绝对值不等式的解法问题，如何证明 |f(x)|≥g(x)...

含绝对值不等式的解法问题，如何证明|f(x)|≥g(x)等价于f(x)≥g(x)或者f(x)≤-g(x）...

含绝对值不等式的解法问题，如何证明 |f(x)|≥g(x)等价于f(x)≥g(x)或者f(x)≤-g(x）

因为|f(x)|≥g(x），|f（x）|=f（x）或|f（x）|=-f（x）
当|f（x）|=f（x）时|f(x)|≥g(x)等价于f(x)≥g(x)
当|f（x）|=-f（x）时|f(x)|≥g(x)等价于-f(x)≥g(x)等价于f(x)≤-g(x）

绝对值不等式的解法

高中讲的绝对值不等式的解法，一般方法是什么？我听说还要分成三段呢段是根据什么分得？？请举两个例子讲一下！！...

高中讲的绝对值不等式的解法，一般方法是什么？我听说还要分成三段呢段是根据什么分得？？请举两个例子讲一下！！

9月17日 12:03 [绝对不等式的解法]
解绝对不等式的基本思路:去掉绝对值符号转化为一般不等式,转化方法有(1)零点分段法(2)绝对值定义法(3)平方法
例如:解不等式
(1)|3x-5|≥1(2)|x+1|＞|2x-1|(3)|x+1|+|x-3|＞5
解：(1)由绝对值定义得：
3x-5≥1或3x-5≤-1
∴x≥2或x≤4/3，即为解．
(2)两边同时平方，得：
x^2+2x+1＞4x^2-4x+1
＜＝＞x^2-2x＜0
＜＝＞0＜x＜2
(3)原不等式等价于：
x＜-1 或 -1≤x≤3 或 x＞3
-x-1-x+3＞5 x+1-x+3＞5 x+1+x-3＞5
由以上得x＜-3/2或x＞7/2
｛chenkai19860520语｝这下你该知道了吧！还满意吗？

参考文献：高中数理化

含绝对值不等式的解法

①|2x-1|+|x-2|≤3②|3x-1|-|x+2|≥1③|x-1|+|x+3|≥6④|mx-1|<3⑤|2x+3|-1<a(a∈R)前三道题请用零点分段法做，后两道要写清详细过程。如果五道题的思路能够写出来更好。谢谢各位。...

①|2x-1|+|x-2|≤3
②|3x-1|-|x+2|≥1
③|x-1|+|x+3|≥6
④|mx-1|<3
⑤|2x+3|-1<a(a∈R)

前三道题请用零点分段法做，后两道要写清详细过程。
如果五道题的思路能够写出来更好。
谢谢各位。

这类题目就是慢慢的讨论。。。
第一、二、三题是一类题，我就写第一题的详细：
临界点X=1/2，X=2
当X>2时
代入得2x-1+x-2<=3， X<=2 取空集
当X<1/2时
代入得1-2X+2-X<=3， X>=0 取0<=X<1/2
当1/2<=X<2=时
2x-1+2-x<=3， X<=2 取 1/2=<x<=2
所以综上所述 当什么什么。。。

第四题：
-3<mx-1<3 -2<mx<4
当m=0时 X属于R
当m>0时 -2/m<x<4/m
当m<0时 -2/m>x>4/m
第五题：
I2x+3I<a+1
当a+1<=o时 I2x+3I<a+1<=0 无解
当a+1>0时 I2x+3I<a+1 -a-1<2x+3<a+1 后面自己解
累死我了 速度给分 分啊。。。。

含绝对值的不等式的解法

帮忙解一下①|X-1|+|2X-6|＜3②|2X-5|-|X+1|≥2③|2-X|＞3④1≤|3X+4|＜61.2题写一下过程3.4题结果就好谢谢啦1.2题要过程...

帮忙解一下
①|X-1|+|2X-6|＜3
②|2X-5|-|X+1|≥2
③|2-X|＞3
④1≤|3X+4|＜6
1.2题写一下过程
3.4题结果就好
谢谢啦
1.2题要过程

楼上皆错 2L的方法是对的 但答案是错的
1
解：当x<1时，化为1-x+6-2x<3解得x<4/3
当1≤x<3时，化为x-1+6-2x<3解得x>2
当x≥3时，化为x-1+2x-6<3解得x<10/3
综上所述：x∈(-00,1)∪(2,3)∪[3,10/3)
2
解：
当x<-1时，化为5-2x+x+1≥2解得x≤-4
当-1≤x<5/2时，化为2x-5+x+1≥2解得x≥2
当x≥5/2时，化为2x-5-x-1≥2解得x≥8
综上所述：x∈(-00,-4]∪[2,5/2)∪[8,+oo)
3
答案：x∈(-00,-1)∪(1,+00)
4
答案：(-10/3,-5/3]∪[-1,2/3)

绝对值等式问题的一个求解方法

你的题目在哪里？
对于绝对值等式
如果可以的话
当然是进行平方
直接脱去绝对值更加简便
但如果不能的话
就要进行分段讨论
对分段函数的取值进行求解

绝对值不等式的解法，怎么解呢？还有一元二次不等...

采用假设法，比如：
绝对值不等式：Ix-1I+Ix+2I>3
当x<-2时上式可变为-（x-1)-（x+2）>3解得x<-2满足条件
当-2<x<1时上式可变为-（x-1)+（x+2）>3解得3>3不成立
当x>1时上式可变为（x-1)+（x+2）>3解得x>1满足条件
综上x<-2或x>1
一元二次不等式：x^2-3x+2>0
首先上式化简为（x-1)（x-2)>0
当x<1时，x-1<0,x-2<0,那么（x-1)(x-2)>0成立
当1<x<2时，x-1>0,x-2<0,那么（x-1)(x-2)>0不成立
当x>2时，x-1>0,x-2>0,那么（x-1)(x-2)>0成立
综上：x<1或x>2

高中数学绝对值不等式的解法

概念含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形式是ax^2 bx c>0或ax^2 bx c<0(a不等于0),其中ax^2 bx c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法 1)当V("V"表示判别是,下同)=b^2-4ac>=0时,二次三项式,ax^2 bx c有两个实根,那么ax^2 bx c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样,解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。
还是举个例子吧。
2x^2-7x 6<0
利用十字相乘法
2 -3
1 -2
得(2x-3)(x-2)<0
然后,分两种情况讨论:
一、2x-3<0,x-2>0
得x<1.5且x>2。不成立
二、2x-3>0,x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为:1.5<x<2。
另外,你也可以用配方法解二次不等式:
2x^2-7x 6
=2(x^2-3.5x) 6
=2(x^2-3.5x 3.0625-3.0625) 6
=2(x^2-3.5x 3.0625)-6.125 6
=2(x-1.75)^2-0.125<0
2(x-1.75)^2<0.125
(x-1.75)^2<0.0625
两边开平方,得
x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集为1.5<x<2

绝对值不等式的解法

在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。 公式：||a|-|b|| ≤|a±b|≤|a|+|b|