等比数列的前n项和

曲谱自学网今天精心准备的是《等比数列的前n项和》，下面是详解！

等比与等差数列前N项和公式？

1、等比数列求和公式：

①

②

2、等差数列求和公式：

若一个等差数列的首项为  ，末项为  那么该等差数列和表达式为：

即（首项+末项）×项数÷2。

扩展资料

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。

等比数列的定义式：

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

参考资料：百度百科-等比数列  百度百科-等差数列

等比数列前n项和公式

等比数列前n项和公式：Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。

推导如下：

因为an = a1q^(n-1)

所以Sn = a1+a1*q^1+...+a1*q^(n-1)  (1)

qSn =a1*q^1+a1q^2+...+a1*q^n  (2)

（1）-（2）注意（1）式的第一项不变。

把（1）式的第二项减去（2）式的第一项。

把（1）式的第三项减去（2）式的第二项。

以此类推,把（1）式的第n项减去（2）式的第n-1项。

（2）式的第n项不变,这叫错位相减,其目的就是消去这此公共项。

于是得到

(1-q)Sn = a1(1-q^n)

即Sn =a1(1-q^n)/(1-q)。

扩展资料：

等比数列前n项和性质

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq。

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2。

④ 若G是a、b的等比中项，则G²=ab（G ≠ 0）。

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1)。

⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。

参考资料来源：百度百科-等比数列求和公式

等比数列前n项和公式有两个，第二个是什么？

分析如下：

等比数列前n项和公式第二个是

①当q≠1时，

或

②当q=1时，

记

，则有

拓展资料：

1、等比数列公式就是在数学上求一定数量的等比数列的和的公式。另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

2、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

3、等比数列的通项公式是： 

若通项公式变形为 (n∈N*),当q>0时，则可把  看作自变量n的函数，点(n,  )是曲线

 上的一群孤立的点。

4、 任意两项 ，  的关系为 

从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： ，k∈{1,2,…,n}

等比中项：当r满足p+q=2r时，那么则有  ，即  为  与  的等比中项。

（资料来源：百度百科：等比数列）

等比数列前n项和的公式是怎么推导出来的

这样来的：
Sn=a1+a1q+a1q²+......+a1q^(n-1)
qSn= a1q+a1q²+......+a1q^(n-1)+a1q^n
两式对应相减得：Sn-qSn=a1-a1q^n
得Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

等比数列的前n项和的Sn，S2n，S3n有何关系

等比数列的前n项和 Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比数列，公比为q^n。

证明如下：

设等比数列{an}的公比为q，

an=a1q^(n-1)

am=a1q^(m-1)

两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m)。

S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n

所以 (S2n-Sn)/Sn=q^n。

同理，S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]

=S2n[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)

=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n

=S2n+[S2n-Sn}q^n 。

所以 (S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n 。

所以 (S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn)。

即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n) 。

扩展资料：

等比数列求和公式的性质：

①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则aman=apaq；

②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列；

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2；

④ 若G是a、b的等比中项，则G2=ab（G ≠ 0）；

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零；

⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^(k+1)；

⑦当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列 。

等比数列前n项和函数特性？

为什么当q≠1且q≠0时，Sn=-Aq的n次方+A？还有为什么A=a1/（1-q）？这是怎么推导出的？...

为什么当q≠1且q≠0时，Sn=-Aq的n次方+A？还有为什么A=a1/（1-q）？这是怎么推导出的？

记忆等比数列前n项和公式

有什么好的的方法记忆这个公式吗？你们上学的时候用的？我实在是背不住了，斜斜了就类似于等差数列的：首项加末项乘以项数。这类的话最好了，还有啊等比求和不是两个公式吗？大家都帮...

有什么好的的方法记忆这个公式吗？你们上学的时候用的？我实在是背不住了，斜斜了
就类似于等差数列的：首项加末项乘以项数。这类的话最好了，还有啊 等比求和不是两个公式吗？大家都帮忙想想，多谢最好还有导出的那个等差求和公式，我就是想死记硬背，这才适合我，多谢了 展开

多背几次就完事了。
q=1时，Sn=na1
q不等于1时，
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)
q=1不多说
q不为1时，你看,分子是1-q^n,分母是1-q，最后再乘以a1就完事了。
顺便提醒一下楼主，要想把公式记熟，最好的办法是做做题，提做多了，公式用多了，自然就熟了。（说实话，长时间不用公式是很容易忘的）

求等比数列前n项和

这2种到底哪个是正确解答...

这2种到底哪个是正确解答

你这个一共是n-1项不是n项。
通项公式是an=1/2^(n+1)，所以1/2^n显然是第n-1项
所以求的应该是S(n-1)不是Sn

已知等比数列｛an｝的前n项和Sn=1/2×3∧（n+1）+c（...

已知等比数列｛an｝的前n项和Sn=1/2×3∧（n+1）+c（c为常数）若不等式λan≦3+S2n恒成立，则实数λ的最大值是...

已知等比数列｛an｝的前n项和Sn=1/2×3∧（n+1）+c（c为常数）若不等式λan≦3+S2n恒成立，则实数λ的最大值是

n=1时，a1=S1=½·3²+c=9/2 +c
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=(½·3ⁿ⁺¹+c)-(½·3ⁿ+c)=3ⁿ
a2=3²=9，q=a(n+1)/an=3ⁿ⁺¹/3ⁿ=3
要a1是等比数列的项，a2/a1=q
a1=a2/q=9/3=3
9/2 +c=3
c=-3/2
λan≤3+S2n
λ·3ⁿ≤3+½·3²ⁿ⁺¹ -3/2
λ≤½(3ⁿ⁺¹+⅓ⁿ⁻¹)
(3ⁿ⁺²+⅓ⁿ)-(3ⁿ⁺¹+⅓ⁿ⁻¹)
=2(3ⁿ⁺¹-⅓ⁿ)
n≥1，3ⁿ⁺¹≥9，⅓ⁿ≤⅓，因此2(3ⁿ⁺¹-⅓ⁿ)恒>0
即随n增大，½(3ⁿ⁺¹+⅓ⁿ⁻¹)单调递增，要不等式恒成立，只需当n=1时不等式成立
λ≤½(3¹⁺¹+⅓¹⁻¹)
λ≤5
实数λ的最大值是5

等比数列前n项和公式

等比数列通项公式...

等比数列通项公式

q=1时，Sn=na1
q不等于1时，
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

等比数列通项公式 q=1 an=a1
q不为1时 an=a1*q^（n－1)

等比数列的前n项和

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比数列a1≠ 0。其中{an}中的每一项均不为0。注：q=1 时，an为常数列。